גאומטריה – מרובעים ומשפטי מעגל

דף סיכום אחד: מה מותר להשתמש בו כשנתון, מה צריך להראות כדי להוכיח, ואיך זה נראה בשרטוט.

מרובעים – תכונות ודרכי הוכחה

לכל מרובע: מה נובע ממנו כשהוא נתון, ומה מספיק להראות כדי להוכיח שהוא כזה.

מקבילית

תכונות
  • צלעות נגדיות שוות ומקבילות.
  • זוויות נגדיות שוות.
  • אלכסונים חוצים זה את זה.
  • סכום זוויות סמוכות 180°.
דרכי הוכחה
  • שני זוגות צלעות נגדיות שוות או מקבילות.
  • זוג צלעות נגדיות שוות וגם מקבילות.
  • אלכסונים חוצים זה את זה.

מלבן

תכונות
  • כל תכונות המקבילית.
  • כל הזוויות ישרות (90°).
  • האלכסונים שווים זה לזה.
דרכי הוכחה
  • מקבילית עם זווית ישרה אחת.
  • מקבילית שאלכסוניה שווים זה לזה.
  • מרובע עם שלוש זוויות ישרות.

מעוין

תכונות
  • כל תכונות המקבילית וכל הצלעות שוות.
  • האלכסונים מאונכים זה לזה.
  • האלכסונים חוצים את זוויות המעוין.
דרכי הוכחה
  • מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות.
  • מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה.
  • מקבילית שאלכסונה חוצה זווית.

ריבוע

מרובע שהוא גם מלבן וגם מעוין.
תכונות
  • כל הצלעות שוות וכל הזוויות 90°.
  • אלכסונים: שווים, מאונכים, חוצים זה את זה וחוצים את הזוויות (45°).
דרכי הוכחה
  • מלבן עם שתי צלעות סמוכות שוות (או אלכסונים מאונכים).
  • מעוין עם זווית ישרה (או אלכסונים שווים).

טרפז שווה-שוקיים

תכונות
  • בסיסים מקבילים, שוקיים שוות.
  • זוויות הבסיס שוות.
  • האלכסונים שווים זה לזה.
דרכי הוכחה
  • טרפז בעל זוויות בסיס שוות.
  • טרפז שאלכסוניו שווים זה לזה.

קטע אמצעים

במשולש
  • מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
  • הפוך: ישר מאמצע צלע המקביל לצלע שנייה – חוצה את השלישית.
בטרפז
  • מקביל לבסיסים ושווה לחצי סכומם: a + b2

משפטי מעגל

מה נתון, מה נובע, ואיך זה נראה בשרטוט.

מיתרים

1

אנך ממרכז מעגל למיתר במעגל חוצה את המיתר

OM ⊥ AB
⇓
AM = MB
2

מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל

AB = CD,
OE ⊥ AB, OF ⊥ CD
⇓
OE = OF

זוויות

1

על מיתרים / קשתות שוות נשענות זוויות מרכזיות שוות

AB = CD
⇓
∡AOB = ∡COD
2

זווית מרכזית במעגל שווה לפעמיים הזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר / קשת

∡AOB = 2∡ACB
3

זוויות היקפיות במעגל הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו

∡ACB = ∡ADB
4

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא בת 90°

AC – קוטר המעגל
⇓
∡ABC = 90°

משיקים

1

משיק למעגל מאונך לרדיוס הנפגש איתו בנקודת ההשקה

c – משיק למעגל O בנקודה A
⇓
OA ⊥ c
2

ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל

OA ⊥ c
⇓
c – משיק למעגל O בנקודה A
3

שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה

CA ו-CB – משיקים למעגל O בנקודות A ו-B
⇓
BC = AC
4

הקטע המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה שממנה יוצאים שני המשיקים חוצה את הזווית בין המשיקים

CA ו-CB – משיקים למעגל O בנקודות A ו-B
⇓
∡C₁ = ∡C₂
5

זווית בין משיק למיתר במעגל שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני

AD – משיק למעגל O בנקודה A,
AB – מיתר במעגל O
⇓
∡BAD = ∡BCA

שני מעגלים

1

קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו

C ו-D – נקודות חיתוך של מעגלים A ו-B
⇓
AB ⊥ CD, CE = ED
2

נקודת ההשקה של שני מעגלים משיקים נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו

C – נקודת ההשקה של מעגלים A ו-B
⇓
C ∈ AB

מעגל חוסם / חסום

1

מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא נקודת מפגש האנכים האמצעיים לצלעות המשולש

O – נקודת מפגש של אנכים אמצעיים EO, DO, FO
⇓
O – מרכז המעגל החוסם
2

מרכז המעגל החסום במשולש הוא נקודת מפגש חוצי הזוויות

M – נקודת מפגש של חוצי זוויות AM, BM, CM
⇓
M – מרכז המעגל החסום
3

אם במרובע קיים זוג זוויות נגדיות שסכומן 180° אז ניתן לחסום אותו במעגל

∡BAD + ∡BCD =
= ∡ABC + ∡ADC = 180°
⇓
ניתן לחסום את מרובע ABCD במעגל O
4

אם במרובע סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני ניתן לחסום בתוכו מעגל

ABCD – מרובע חוסם מעגל O
⇓
AB + CD = AD + BC

פרופורציות במעגל

1

שני מיתרים במעגל הנחתכים בתוך המעגל נחלקים זה את זה כך שמכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני

E – נקודת חיתוך המיתרים AB ו-CD במעגל O
⇓
AE · BE = CE · DE
2

אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני חותכים אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת האחר בחלקו החיצוני ושווה לריבוע המשיק היוצא מאותה הנקודה

AC ו-AE – חותכים למעגל O,
AF – משיק למעגל O
⇓
AB · AC = AD · AE = AF²